Введение

Рассмотрим конвекцию коллоидной суспензии заполняющей плоскую ячейку наклоненную на угол $\alpha$ к горизонту (рис. 1 )

Рис. 1. Геометрия задачи

Математическая модель конвекции основана на приближении Буссиненска, в котором полагается лилейная зависимость плотности жидкости от температуры и концентрации:\begin{equation} \rho = \rho_0(1+\alpha T-\beta C)\end{equation}

Моделирование конвективных течений производилось для замкнутой ячейкинаклоненной на угол $\alpha=10^0$ к горизонту (рис. 1 ). В качестве параметров задачи быливыбраны значения соответствующие реальной коллоидной жидкости.[1].\begin{eqnarray*} \rho_w &=&1.00 g/cm3\\ \nu &=&8.96 \times 10^{-3}cm/s2\\ \chi &=&1.47\times10^{-3}cm/s2\\ \alpha &=&2.52\times10^{-4} K^{-1}\\ \rho_s &=&2.00 g/cm3\\ r_s &=&2.20\times10^{-6} cm\\ D &=&1.30\times10^{-7} cm/s2\\ \psi &=&-9.00\times10^{-2}\\ l_{sed}&=&9.48\times10^{-1} cm\\\end{eqnarray*}

которой соответствуют следующие безразмерные параметры:\begin{eqnarray*} Pr&=&10\\ B&=&1.68 \times 10^{4}\\ L&=&1.5 \times 10^{-4}\\ l_{sed}&=& 5.6 \label{}\end{eqnarray*} Моделирование течения производились методом конечных разностей с центральныхразностей по пространственным координатам и явной аппроксимацией повремени. Решение уравнения Пуассона производилось прямым методомрядов Фурье. Основные результаты были получены на сетке содержащей 512Х64 узла.

Седиментация

В коллоидной суспензии в отсутствии наклона конвекция возникает жесткимобразом. При этом вблизи порога существования течения наблюдаются дварежима бегущих волн, в которых концентрационная волна, зарождаясь вблизи границы, пробегает всю ячейку и разрушается на противоположной стенке.Подробно течения в плоском горизонатльном слое рассмотрены в [2,3]

Наличие наклона существенно изменяет характер бифуркации. Течение в данном случае возникает мягким образом,а также наблюдается большее разнообразие конвективных режимов.

На рис. 2 приведена бифуркационная диаграмма, показывающаязависимость числа Нюссельта $Nu$ , характеризующего интенсивностьтеплопередачи через слой, от числе Релея $R$, пропорциональногоприложенной разности температур. Ввиду наличия нерегулярных режимовконвекции число Нюсельта усреднялось по времени. Усреднениепроизводилось на больших временах порядка $2\times 10^3$ тепловых единиц.

Рис. 2. Бифуркационная диаграмма для $\alpha=10$

При больших числах Релея (область I рисунка 2 ) наблюдаетсяколебательный конвективный режим, в котором вихри совершают периодические движения вблизинекоторого положения равновесия,поля функции тока приведены на рис. 3 .

Рис. 3. Изолинии функции тока и поля концетрации через равные промежутки времени $R=2700$

Характеристическая плоскость, отображающая динамику поведение центроввихрей, приведена на рис. 5 . Колебания вихрей являются регулярными продолжительное время. Расчеты показали, что данный режим существует более $2.5 \cdot 10^3$ тепловых единиц времени.

Рис. 4. Зависимость $\psi_{loc}(t)$ и соответвующий фурье сперкт при $R=2700$

Для анализа временных характеристик течения было проведено разложение вряд Фурье поведения функции тока в фиксированной точке с координатами(2.7,0.5).

Характерное поведение функции тока в фиксированной точке, а также спектр частот, приведены на рис. 4 . Здесь и далее на спектрах Фурье используется нормализованная амплитуда, то есть амплитуда максимальной гармоники принята за единицу. На спектрах видно, что помимо основной гармоники также есть дополнительные частоты с много меньшей интенсивностью.

Рис. 5. Характеристическая плоскость, область I

При понижении числа Релея режим регулярных колебаний сменяетсярежимом с перестройкой, существующим в интервале II (рис. 2 ).В данном режиме регулярные колебания периодически нарушаются неколебательным течением, которое наблюдается длительное время.Характеристическая плоскость, отражающая момент переход между течениями,приведена на рис. 7 . При перестроении течения происходит слияние центральных вихрей.

Поведения функции тока и спектр фурье приведены на рис. 6 . Период между перестройками течения составляет примерно $2.3 \times 10^3$ единиц времени.

Рис. 6. Спектр фурье и поведение функуии тока в фиксированной точке при $R=2550$

Рис. 7. характеристическпая плоскость $R=2.5\cdot10^3$

В интервале $1.9\times 10^3<Ra<2.2\times10^3$ существует хаотический режим конвекции. Анализ на довольно больших расчётных временах не выявил периодичности. Анимация течения приведена на видео 8 . Спектр фурье и поведение функции тока в точке приведены на рис. 10 .

При дальнейшем понижении числа Реля в интервале $1.5\times 10^3<Ra<1.9\times10^3$ наблюдается упорядоченный колебательный режим. Спектр фурье приведён на рис. 9 . Первые частоты не относятся друг другу как целые числа.

Рис. 9. спектр фурье и поведение функции тока в точке $R=1900$

Рис. 10. Спектр фурье и поведение функуии тока в фиксированной точке при $R=2100$

В данном режиме наблюдается трехвихревое течение, изолинии и концентрации приведены на видео 11

Положительная термодифузия $\varepsilon=10$

Наличие большой положительной термодиффузии $\varepsilon= 10$ значительно изменяет картину течений. Зависимость числа Ньюсельта от Релея приведена на рис. 12 .

Рис. 12. Бифуркационная диаграмма, $\varepsilon = 10$

При больших числах Релея наблюдается трех вихревой режим конвекции (область I на рис. 12 ), характерные для данного режима изолинии приведены на рис. 13 . Течение состоит из трех вихрей сопоставимого размера. Боковые вихри имеют одинаковую закрутку, а центральный вихрь противоположную.

При понижении числа Релея трех вихревой режим сменяется течением с двумя замыкающимися вихрями (область II на рис. 12 ),характерные для данного режима изолинии приведены на рис. 13 . Распределение концентрации внутри вихрей является более однородным, чем при течениях в области I, но вблизи границ ячейки наблюдается больший концентрационный градиент. Появление большего градиента в близ границ обусловлено уменьшением интенсивности конвективного перемешивания коллоида. Вследствие чего термодиффузия создает большее разделения коллоида. Обо вида течения являются стационарными.

Рис. 13. Изолинии фуркции тока, температуры и концентрации

Область III на рис. 12 соответствует двухвихревому режиму без замыкания вихрей.

Область IV соответствует слабому режиму конвекции, при котором отсутствует конвективная передача тепла поперек слоя, число Нюссельта слабо отклоняется от единицы. Однако полного механического равновесия в системе не наблюдается. Слабое течение перераспределяет концентрацию таким образом, что продольный градиент, вызванный тепловым расширением, частично компенсируется за счет увеличения концентрации в теплой области. Так как скорость диффузии в коллоидах мала слабое течение способно компенсировать диффузионный дрейф примеси, что поддерживает устойчивое состояние слабого течения. Изолинии функции тока температуры и концентрации приведены на рис. 14

Рис. 14. Изолинии фуркции тока, температуры и концентрации $R=7\cdot 10^2$

Работа выполнена при поддержке грантов: 14-01-31299 мол_а, 13-01-96010 р_урал_а.