Линейная теория устойчивости коллоидной суспензии в горизонтальном слое при подогреве сверху

Черепанов И. Н.
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
15 января 2016 г.
В работе проведено исследование устойчивости состояния механического равновесия коллоидной суспензии, обладающей положительной термодиффузией подогреваемого сверху. Наличие положительной термодиффузии приводит к миграции тяжелой компоненты примеси к верхней горячей стенке, что может создавать неустойчивую стратификацию плотности. В работе используется метод малых возмущений. Линейная задача устойчивости решается методом Галеркина с разложением по большому числу базисных функций. Результаты опубликованы в [1].

\(\def\vec#1{\boldsymbol #1}\)

\(\def\pdif#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\)

Введение

Гидродинамика коллоидных растворов так же, как и молекулярных смесей, обладает рядом специфических особенностей [2]. Наличие примеси приводит к появлению дополнительных механизмов, создающих неоднородность плотности.

Температурные и концентрационные возмущения различаются не только скоростью распространения (коэффициент диффузии и температуропроводности могут различаться на несколько порядков), но и граничными условиями [3].

Неоднородность концентрации примеси внутри коллоида создается двумя механизмами седиментации [4] и термодиффузии [5]. Не смотря на малые неоднородности концентрации, создаваемые термодиффузией и седиментацией, они могут быть сопоставимы с тепловыми флюктуациями плотности, так как коэффициент концентрационного расширения превосходит тепловой на несколько порядков.

Конвекция коллоида, подогреваемого снизу, изучена в работе [2,6,8]. В работе показано, что при наличии седиментации и отрицательной термодиффузии возможно существование колебательных течений в виде бегущих волн. При наличии отрицательной термодиффузии возможно появление течений при подогреве коллоидной жидкости сверху. Тепловое расширение создает устойчивую стратификацию градиента плотности, когда более тяжелая холодная жидкость расположена в нижней части ячейки. Однако, термодиффузионный поток создает повышенную концентрацию примеси вблизи верхней границы. Тем самым результирующий градиент плотности (суммарное влияние теплового и гравитационного расширений) направлен вверх.

Постановка задачи

Рассмотрим плоский бесконечный слой коллоидной суспензии, ограниченный сверху и снизу твердыми идеально теплопроводными границами. На горизонтальных границах поддерживаются постоянные температуры $T_1$ и $T_2$. Слой находится в поле действия силы тяжести $\vec g$ (рис. 1 ).

Геометрия задачи

Рис. 1. Геометрия задачи

Математическая модель основана на уравнении конвекции бинарной смеси в приближении Буссинеска [7]. В данном приближении полагается линейная зависимость плотности от температуры и концентрации:\begin{equation} \rho= \rho_0(1-\alpha T +\beta C )\end{equation}Здесь $\rho$ – плотность жидкости, $\rho_0$ – средняя плотность, $\delta T= T-T^*$,$\delta C = C-C^*$ - отклонение температуры и концентрации тяжелой компоненты от средних значений $T^*$, $C^*$; $\alpha,\,\beta$ – коэффициенты теплового и концентрационного расширений соответственно. Используем безразмерные переменные на основе следующих масштабов: расстояния – высота ячейки $d$, времени – $d^2/\chi$, скорости – $\chi/d$, температуры – $\theta =T_1-T_2$, давления – $\rho \chi^2/d^2$, концентрации – $C^* d/l_s$ ($\nu$ и $\chi$ – соответственно коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности), $l_s=k_BT^*/(\Delta\rho V g)$ – седиментационная длина [7] ($k_B$ –постоянная Больцмана, $\Delta\rho$– разность плотности частиц и среды-носителя, $V$–объем частицы). Полная система уравнений тепловой конвекции в безразмерной форме, с учетом термодиффузии и гравитационной стратификации в безразмерных перемененных, примет вид:

\begin{equation}\label{eq:gl2:v} \pdif{\vec v}{t}+(\vec v \nabla) \vec v=-\nabla p+P\Delta \vec v+P(RT- BC)\vec n_g ,\end{equation}\begin{equation}\label{eq:gl2:t} \frac{\partial T}{\partial t}+(\vec v\nabla) T=\Delta T,\end{equation}\begin{equation} {\rm div} \vec v=0,\end{equation}\begin{equation}\label{eq:gl2:c} \frac{\partial C}{\partial t}+(\vec v\nabla) C=L\nabla\left(\nabla C+\frac{1}{l}C\vec n_g+\epsilon\frac{R}{B}\nabla T\right).\end{equation}$\vec n_g$ – единичный вектор вдоль силы тяжести, $P=nu/\chi$ – число Прандтля, $L=D/\chi$ – число Льюиса, $R=g\alpha\bar \theta d^3/(\nu \chi)$ – число Релея, $B=g\beta\bar T^* d^4/(\nu \chi l_s)$ – число Больцмана, $l=l_s/d$ – безразмерная длина седиментации, $\varepsilon =S_T\alpha/\beta$ –безразмерный параметр термодиффузии, $S_T$ – размерный коэффициент термодиффузии, $D$ – коэффициент диффузии.

Рассмотрим линейную теорию устойчивости состояния механического равновесия коллоидной суспензии при обогреве сверху.

Для анализа устойчивости механического равновесия используем метод малых возмущений. Для этого представим концентрацию и температуру в виде $C=C_0+\tilde c,\, T=T_0+\tilde \theta$,где $C_0, T_0$ -- распределения концентрации и температуры в состоянии механического равновесия, и рассмотрим малые возмущения вертикальной скорости $w$.

$\tilde \theta$, $\tilde c$, $\tilde w$ являются малыми нестационарными возмущениями. После исключения давления линеаризованная система уравнений тепловой конвекции коллоидной суспензии примет вид: \begin{equation} \pdif{}{t}\Delta \tilde{w}=Pr\Delta^2 \tilde{w}-Pr \times\left(R\pdif{\tilde{^2\theta}}{x^2}-B\pdif{^2\tilde{c}}{x^2}\right), \end{equation}

\begin{eqnarray}\pdif{\tilde{\theta}}{t}&=&-\tilde w\pdif{T_0}{z}+\Delta \tilde{\theta},\\\end{eqnarray}\begin{equation}\pdif{\tilde c}{t}=-\tilde w\pdif{C_0}{z}+\\+Le \left( \Delta \tilde{c}+\frac{1}{l}\pdif{\tilde{c}}{z}+\frac{\epsilon R}{B} \Delta \tilde{\theta}\right),\end{equation}

Решение будем искать в виде нормальных возмущений, когда все величины представлены в виде:\begin{equation}\tilde{w}(t,x,z)=w(z)exp(-\lambda t+ikx),\end{equation}\begin{equation}\tilde{\theta}(t,x,z)=\theta(z)exp(-\lambda t+ikx),\end{equation}\begin{equation}\tilde{c}(t,x,z)=c(z)exp(-\lambda t+ik x),\end{equation}здесь $k$ -- вещественное волновое число. $\lambda=\lambda_r+i\lambda_i$ -- комплексный декремент, характеризующий временную эволюцию возмущений. При $\lambda_r>0$ возмущения являются затухающими, если $\lambda_r<0$ возмущения будут нарастать, что приведет к потере устойчивости. Граница устойчивости находится из условия $\lambda_r=0$. При этом декремент является функцией параметров задачи $\lambda=\lambda(R,Pr,Le,B,l,k,\epsilon)$. Если мнимая часть декремента равна нулю $\lambda_i=0$, возмущения являются монотонными. При ненулевой мнимой части возмущения являются колебательными с частотой $\omega=\lambda_i$.

Система линейных уравнений для нормальных возмущений примет вид:\begin{equation}\label{eq:lt_v1}\lambda+\Delta w+Pr\Delta \Delta w +k^2\,Pr \left(R\theta-B\,c\right)=0,\end{equation}\begin{equation}\label{eq:2.60}\lambda\theta-wT_0'+\Delta \theta=0 ,\end{equation}\begin{equation}\label{eq:2.61}\lambda c-w C_0'+Le \left( \Delta c+\frac{1}{l}c'+\frac{\epsilon R}{B} \Delta \theta\right).\end{equation}

Здесь штрих обозначает дифференцирование по $z$, $\Delta=\pdif{^2}{z^2}-k^2$.

Граничные условия для возмущений имеют следующий вид:\begin{eqnarray}w=w'=0, & \\\theta=0, &\,\, \mbox{при }z=0,1\\c'+\frac{1}{l}c+\frac{\epsilon R}{B}\theta'=0.&\end{eqnarray}Возмущения скорости и температуры на твердых идеально теплопроводных границах должны обращаться в ноль. Граничные условия для концентрации требуют обращения в ноль нормальной компоненты потока.

Задача решалась методом Галеркина, описанным в [7]. Разложение производилось по 60 базисным функциям (по 20 для каждой искомой функции).

Пороги конвективной неустойчивости

Начальные распределения концентрации и температуры считаются равновесными и описываются уравнениями:\begin{equation}\label{eq:T_0_rav_br} T_0=\frac{1}{2}\left(1-z\right)\end{equation}\begin{equation}\label{rav_con_br} C_0=\left(1-\epsilon \frac{R}{B}\right)\frac{e^{(-z/l)}}{1-e^{-1/l}}+\frac{l\epsilon R}{B},\end{equation} Исследование устойчивости механического равновесия производилось при фиксированных значениях числа Прантдля, Льюиса и длины седиментации $P =10,\, L=10^{-4},\, l=30$.

При малых значениях числа Больцмана $B\to 0$, которые соответствуют слабой гравитационной стратификации, возмущения, возникающие вблизи порога устойчивости, являются длинноволновыми ($k \to 0$).

Зависимость приведенного числа Релея от волнового числа

Рис. 2. Зависимость приведенного числа Релея от волнового числа

Увеличение числа Больцмана приводит к смещению минимума нейтральной кривой в сторону больших значений волнового числа $k$. Волновое число связано с длиной волны соотношением $\lambda=2\pi/k$. Таким образом, при больших числах $B$ пороговые возмущения являются коротковолновыми. Так при $B=2\cdot 10^4$ минимум нейтральной кривой расположен вблизи $k\approx 8$, что соответствует возмущениям с длиной волны $\lambda\approx0.8$.

Нейтральные кривые приведенного числа Релея, которое определяется как отношения числа Релея к порогу длинноволновых возмущений ($\hat R= R/R_{k\to 0}$), приведены на рис 2 .

Зависимость критического волнового числа $B$

Рис. 3. Зависимость критического волнового числа $B$

Зависимость волнового числа $k_c$, соответствующего минимуму нейтральной кривой, от числа Больцмана приведена на рис 3 . При малых числах Больцмана наблюдается резкий рост критического волнового числа, затем зависимость становится практически линейной.

Зависимости порога устойчивости от параметра термодиффузии $\varepsilon$ и числа Больцмана $B$ приведены на рис. 4 и 5 соответственно. Данные зависимости подтверждают справедливость закона (\ref{eq:great}), полученного в [8]: \begin{equation}R_c=\frac{B}{\varepsilon}\label{eq:great}\end{equation}

Зависимость критического числа  Релея от   $\varepsilon$

Рис. 4. Зависимость критического числа Релея от $\varepsilon$

Зависимость критического числа Релея от $B$

Рис. 5. Зависимость критического числа Релея от $B$

Работа выполнена при поддержке гранта 14-01-31299 мол_а.

Список литературы

  1. Черепанов И. Н. Линейный анализ устойчивости коллоида, подогреваемого сверху // Вестник пермского университета серия: физика. 2015, Вып. 2(30), С. 39-43.
  2. Shliomis, M.I., Smorodin, B.L. Onset of convection in colloids stratified by gravity // Physical Review E. 2005, Vol. 71, .
  3. Ингель, Л. Х. Механизм конвективной неустойчивости бинарной смеси у вертикальной поверхности // Журнал технической физики. 2009, Вып. 2, С. 43-47.
  4. Путин, Г. Ф. Экспериментальное исследование влияния барометрического распределения на течения ферромагнитных коллоидов // Материалы 11-го рижского совещания по магнитной гидродинамике. 1984, Вып. 3, С. 15-18.
  5. Lenglet, J., Bourdon, A., Bacri, J.-C., Demouchy, G. Thermodiffusion in magnetic colloids evidenced and studied by forced Rayleigh scattering experiments // Phys. Rev. E. 2002, Vol. 65, P. 031408.
  6. Smorodin B.L., Cherepanov I.N. Convection of colloidal suspensions stratified by thermodiffusion and gravity // The european physical journal e. 2014, Vol. 37, P. 118.
  7. Гершуни, Г. З., Жуховицкий, Е. М., Непомнящий, А. А. Устойчивость конвективных течений. М. : наука, 1989, 320с.
  8. Фертман В. Е. Магнитные жидкости. Минск: вышэйшая школа, 1988, 184с.
  9. Smorodin, B.L., Cherepanov, I.N., Myznikova, B.I.and Shliomis, M. I. Traveling-wave convection in colloids stratified by gravity // Physical Review E. 2011, Vol. 84, .